Inquiry

Geometri og algebra

En matematikktime starter, elever kommer inn og gjør klar til en time med algebra. Forrige time spurte en elev om hva som er greia med algebra og det ga meg et lite puff i retning av å lage et opplegg som kunne vise og avklare endel som blir såkalt lært bort i skolen. Dette er resultatet.

“Idag skal vi se på hvordan vi ganger sammen tall, lære om en måte å bruke det med tanke på kvadratsetninger og prøve å forstå hva vi egentlig gjør når vi ganger sammen.” Jeg biter meg nesten i leppa over å si noe så uklart i starten av en økt, men slik kan det av og til bli. En time kan bli hektisk i starten når man skal passe på at elever har med bøker inn til time, svarer på 3-4 spørsmål, får beskjed om at en elev er nødt til å gå til helsesøster og skal føre fravær i It’s Learning. Jeg starter da med å spørre om noen har hørt om kvadratsetningen. Total stillhet. På tavla har jeg skrevet opp (a+b)(a+b). Kvadratsetning“Vet dere hvordan de skal ganges sammen?”. Litt uro blant noen elever, noen nervøse blikk utveksles mellom de elevene som føler mest ansvar for å svare på spørsmål fra lærer. “Dette ser sikkert vanskelig ut og mange av dere har nå jobbet med a-er og b-er og funnet ut at multiplikasjonstegnet ikke skrives.” Noen nikker. “Tenk nå at a og b er 2 tall, det er tosifrede tall som kan skrives som tiere og enere. F.eks 23 x 24. Skriv de som (20 + 3)(20 + 4).”

Jeg går gjennom steg for steg slik at elevene ser at de får 4 multiplikasjonsstykker, nemlig 20 x 20, 20 x 4, 3 x 20 og 3 x 4. Produktet blir 400, 80, 60 og 12. Så skriver jeg opp som et vanlig multiplikasjonsstykke, men gjør nå ikke de vanlige triksene med mente og posisjonsplassering. Da blir stykket slik:

Gangestykke1

Starter lengst til høyre og går gjennom med fokus på at først er det 4 enere som ganges med 3 enere. (12) Deretter er det 4 enere som ganges med 2 tiere (80). 2 tiere ganges med 3 enere (60) og til slutt 2 tiere ganges med 2 tiere (400). Dette gir elevene en anledning til å se at dette er ganske greie regnestykker og kanskje oppdager at den tieren i første stykket da er mente/minne de lærer i standardalgoritmen som læres bort i skole.

Se på forrige stykke sier jeg da. Ser dere de samme tallene?

Gangestykke2

Noen ser at, jo, det er de samme tallene. Det var jo fint sier jeg. Da har vi nettopp sett at dette fungerer fint. Nå har vi 2 metoder som fungerer bra for tosifrede tall. “Kan vi gjøre dette gangestykket med geometri?” (Vi har jobbet med geometri i perioden før vi startet med algebra).

Et par elever sier ja siden det er gitt at læreren nå vil vise noe mer. Jeg tegner da opp en firkant og spør dem om hvilken type det er (Begrep er viktig). Det er et rektangel eller et kvadrat hevder noen elever. “Flott, da sier vi det er et rektangel. Hva kjennetegner et rektangel?” Elev svarer riktig og jeg viser at da kan vi kalle sidelengdene a + b. Jeg blir arrestert av en elev som da riktig påpeker at egentlig burde det da stått (20 + 3)(20 + 3). Didaktikeren i meg smiler fornøyd. Det er alltid godt å bli korrigert av en våken elev. Den monotone monologen blir en dialog og i et utforskende klasserom ønsker man at dette skal bli lærer som ordstyrer og elever som debattanter. For de innvidde så vil man gå fra IRE (Initiate Response Evaluation) til IRP (Initiate Response Prompt). Figuren jeg skriver etter et godt elevinnlegg er da slik:

Gangestykke som geometrisk figur

 

Jeg spør elevene om hva vi skal gange sammen og hva arealet da blir. De samme tallene kommer da, men nå med visuell støtte. Vi kan tenke at et gangestykke at sidelengdene (faktorer) gir et areal (produkt). Dette ga både grimaser (Dette skjønner jeg fortsatt ikke) og smil (Ah, dette skjønte jeg mer av). Samtalene med grimasegjeng ville bli viktig etterpå.

 

Da fikk elevene i oppgave å gjøre dette selv og teste ut de 3 metodene. Den de har sett i boka og de 3 andre jeg nettopp hadde vist. Smilegjengen satte fort igang mens min oppmerksomhet gikk til grimasegjengen og de som viste det ekstra tydelig med en hånd i været og lange blikk. Etterhvert fikk jeg gått gjennom litt mer grundig med 4-5 elever og det spredte seg en mer harmonisk stemning i klasserommet. Noen elever begynte å diskutere og sammenligne sine resultat. Noen fant ut at det var veldig greit å bruke figurer som støtte (Bar Model Method er en variant av en slik tilnærming).

Et knakende godt spørsmål/innlegg fra elev om at den metoden i boka gikk veldig raskt ga meg muligheten til å påpeke at ja, den var rask. Problemet var at den var rask for den som forsto hvordan den fungerte og at de andre metodene kunne gi den forståelsen som var nødvendig for å beherske den raskeste metoden. Timene blir veldig gode når man som lærer etterhvert får muligheten til å spille på elever som stiller gode spørsmål. Disse elevene driver undervisningen fremover og sørger for at elevene får et eieforhold. Det blir fort tyngre om det bare er læreren som er nysgjerrig.

Elevene fikk også en liten grublis, nemlig et gangestykke med vedisk matematikk. Skjønte de hvordan dette ble regnet ut? Bildet under viser utfordringen.

Vedisk

 

Prøv gjerne å finn systemet selv og ikke Google etter svar. Da får du en liten test i det som ofte møter elever i skole når man begynner med formler og algoritmer som virker som tilfeldige tall slengt ned etter et system man ikke forstår.

 

Avslutningen på timen ble da en diskusjon om hva da stykket vi startet med da egentlig var? Jeg tok regien for å sikre at her blir det innprentet at algebra handler om å se system og kunne uttrykke det generelt. (a + b)(a + b) kunne stå for alle gangestykker med tosifrede tall der tier og ener var like, f.eks 43 x 43 og 25 x 25. Jeg spurte om noen syntes metoden med figur (firkant) var grei å bruke og om de nå kunne se litt nytte av algebra. Endel nikket fornøyd, men som det gjerne blir etter en økt på 45 minutter, så er vi fortsatt i startgropa med tanke på å få en forståelse for den kraftige matematiske idèen som er algebra. Innlæring av prosedyrer går rimelig raskt, men forståelsen og å huske det man gjør, det krever innsats og utholdenhet.

45 minutter matematikk og en tavle som så slik ut til slutt:

20160422_105127

 

Leave a Reply