Matematikk

Matematikk og origami

Muntlig eksamen i matematikk nærmer seg. Hva skal man gjøre når pensum er gjennomgått og forberede elever på en periode med eksamen og venting på hvilke fag en blir trukket ut til? Dette er beretningen om forarbeid, gjennomføring og refleksjoner underveis.

MUNTLIG MATEMATIKK

Et grøss går gjennom elevene som får høre sitt navn leses opp. “Hvilket fag får vi? Matematikk! Hva kan vi snakke om i matematikk da?” Kjent spørsmål og kanskje en indikasjon på at vi jobber litt feil med matematikk i mange sammenhenger. Matematikk er en greie der man sitter ved et bord og leser oppgaver og løser disse ved å bruke riktige teknikker. Må det være sånn? Jeg fikk opp 6 elever i matematikk og de gjorde sine saker bra. De ga meg litt inspirasjon til å tenke at man måtte fortsette med dette. De brukte nemlig forberedelsesdagen veldig bra og var flinke til å stille spørsmål og lete etter mulige måter å finne matematikk i en oppgave som handlet om Pirbadet i Trondheim.  Jeg ville videreføre dette til noe som jeg mener bør benyttes mer i matematikk, nemlig papirbretting. Jeg har drevet med litt selv og hadde en idè om at elevene enkelt kunne få gode erfaringer og få brukt matematikk som et språk når de skal utforske. Papir er en av de ressursene som en skole har i overflod og dermed lett å skaffe til veie. De fleste har erfaringer med papir og det er enkelt å bruke.

PAPIR?

Elevene ser litt forskrekket på hverandre. “Er ikke dette matematikktimen?” Jeg ventet en mengde innsigelser mot å bryte med et rimelig fastlagt mønster for en standardisert matematikktime. Det er ikke noe negativt med å sitte og regne oppgaver, men for at elevene skal begynne å bruke matematikk som et språk må de lære seg å samhandle med andre, uttrykke seg matematisk. “Brett over diagonalen på arket, hva kan dere se nå? Har et rektangel symmetrilinje gjennom sine diagonaler?” Ikke så rent få slet i begynnelsen med å ta instrukser, spesielt var origamitegn uvante i starten. Fjellbrett, dalbrett, snu rundt og fold ut igjen. Vi startet med enkle instrukser og målet var å brette en modulær enhet som er basert på en rombe. 12 av disse kan kobles sammen til en 12-flate (Dodecahedron) 20150420_111712og jeg kalte den litt misvisende for en romboide. Jeg sto der med et ark foran tavla og forklarte steg for steg. Etterhvert som elever begynte å få taket på det, så kunne jeg gå rundt og korrigere. Starten var som ventet med mye fortvilelse og uttallige rop på lærer. En må da stå i det og vente på at en eller annen elev får til noe. Det er skremmende å stå inne i en time på denne måten, for en merker en forventning fra elever om at man skal ha lært. Å arbeide med prosess er ikke enkelt, spesielt når en kjemper mot klokka. “Der fikk jeg til den romboiden!” Perfekt! Da er det bare å vente på reaksjonen fra de andre elevene. Blikk heves og rettes mot eleven. Nå er konkurransen igang. Timen går mot slutten, men nå er ilden tent. I friminuttet etterpå kommer to elever til bort til meg og viser fram det de har fått til.

MATTEMAGI

IMG_20150416_093654

Trihexaflexagon

Flexahexagon var neste steg. For de som ikke har erfart denne farsotten, så er det snakk om at man bretter en papirremse på en slik måte at en lager et hexagon (sekskant). Det magiske med disse er at man har muligheten til å brette frem flere flater, til tross for at man ser kun en bakside og en framside. Elevene skulle få prøve et trihexaflexagon, noe som oversatt betyr at man har 3 flater bestående av 6 trekanter. En flate er bestandig skjult, mens 2 er synlige. Når man lærer en teknikk på å brette frem den skjulte flaten kan man starte med litt magi. Første time fikk jeg leke magiker og reaksjonen fra elever var morsom. Mange var overbeviste om at jeg jukset eller trikset. Da var det herlig å kunne si at det var matematikk, ikke noe magi i det hele tatt. For å la elevene oppdage litt selv, fikk de en remse de skulle klippe ut. ReIMG_20150415_093929msen har da 10 trekanter, noe som blir 20 tilsammen når en regner framside og bakside. Jeg ga et lite hint til at formen måtte bli som et hexagon og at 2 trekanter måtte limes sammen. 3 flater med 6 trekanter hver gir 18 stk totalt. 2 må da logisk nok forsvinne, dvs limes sammen.Den første eleven som klarte å brette sammen og lime riktig kunne skjelvende presentere sin egen trihexaflexagon. Det var fantastisk å se hvor stor glede en kunne få av å brette en liten papirremse til et magisk trihexaflexagon.

DET MATEMATISKE SPRÅK

IMG_20150423_093805

Begrepsark

Hvordan kunne dette skje? Elever var nysgjerrige, de ville vite hvorfor dette fungerte. Uttallige matematikksamtaler fulgte og jeg kunne som lærer påpeke hvor viktig matematikk er for å kunne presist forklare sammenhenger og mønster. Hvordan lå trekantene, hvilken type trekanter var det? Hva skjedde når man brettet med riktig teknikk for å få frem flatene? Nå kunne jeg fylle på med matematiske begreper. Jeg tok fram A4 arket og snakket om det vi først hadde gjort. Hva kunne vi finne av matematikk der? Plutselig ga det mening å kunne vite om disse glosene. Når jeg sa at man skulle brette slik at arket ble halvert, da ble det selvfølgelig en symmetrilinje. De to halvdelene som da ble dannet kunne man se var like store og var selvsagt halvparten så stor som det opprinnelige arket. Hva het det hvis de dekket hverandre? “Formlike! Like store! Like forhold! Kongruente!” Elevene oppdaget nøyaktigheten i fagbegrepet kongruent. Istedetfor å si at de var nøyaktig like store kunne man si kongruente. En rettvinklet trekant hadde selvfølgelig en vinkel på 90 grader. Du må brette en likebeint trekant, deretter halvere vinkelen på den største vinkelen kan da være beskjeden for å brette et kvadratisk ark over diagonalen og lage midtnormal fra hypotenus til den rette vinkelen.

ROMGEOMETRI

IMG_20150422_084902

Stellated Icosahedron

Å beskrive tredimensjonale figurer i matematikk er krevende. Selv om man er vant til en tredimensjonal verden, så viser det seg å være veldig vanskelig å gå fra planet (todimensjonal) til rommet (tredimensjonal). Nå skulle elevene få utvide sin kunnskap om bretting og se at den figuren de laget først, kunne lages på en annen måte. Det kalles modulær origami og er basert på at man ved å lage en grunnenhet kan lage figurer ut fra flere av disse grunnenhetene. Jeg valgte Sonobe enheten siden denne var ganske enkel å lage og som det meste innen origami bruker kvadrat som utgangspunkt for arket. Jeg laget en kjapp oppskrift basert på bilder fra nett og min egen oversettelse av en guide. Det er ganske typisk at når man lager slike guider, så finner man bestandig ut at det er rom for å misforstå når man skal gjennomføre senere. Dette var ikke noe unntak. Elevene fikk ark med beskrivelse og noen fikk skikkelig fart på å lage enheter. Noen fikk sine problemer og jeg måtte bruke mye tid på å forklare gjentatte ganger at forklaringen min ikke var helt enkelt å følge. Etter det som føltes som mange unødvendige repetisjoner fikk jeg plutselig øye på den første kuben. “Flott! Den må vi ta bilde av og legge på Instagram.” Jeg har laget en Instagram bruker for å vise til det som skjer i timer. Det er lett for elever, foreldre og andre lærere å følge med. En viser litt til det som skjer i matematikktimer og i slike tilfeller blir det utrolig mange fine bilder som kan vise elevenes kreativitet. Sjekk ut markadag på Instagram og gi gjerne noen kommentarer til det elevene har laget.

REFLEKSJON

Papirbretting ga en flott mulighet til matematiske samtaler og mange elever opplevde å få bruk for begrep eller faguttrykk når de skulle forklare. IMG_20150424_113605Når elever først kom over den første innledningen med å lære noen grunnformer, så eksploderte formelig papirbrettingen. En bok om origami ble flittig lånt og det var mye krangling om hvem som nå skulle låne den til neste time. Engasjement, nysgjerrighet, motivasjon og skaperglede. Det er gode indikasjoner på at elever er aktive og har muligheten til å lære. Min rolle som lærer ble spesielt viktig i samtaler og de ark jeg delte ut til elever for å sikre fokus på matematikken i selve arbeidet.IMG_20150424_095124 Det er ingen tvil om at her har vi funnet en god innfallsvinkel til geometri i ungdomsskole og vi må utvikle og kvalitetssikre videre prosjekt for å f.eks tenke naturlige tverrfaglige samarbeid med andre fag (Kunst og håndverk faller naturlig inn). Hvem skulle tro papir skulle kunne brukes til så mye? Forresten, etter en time med iherdig bretting av octahedron traff jeg en elev når jeg inspiserte. Eleven tok stolt fram sin hexahexaflexagon. Han hadde funnet oppskrift på internett og laget en selv. Gjett om det er artig å være lærer når man opplever slikt.

2 replies »

Leave a Reply